\documentclass[12pt,a4paper]{annales}

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\begin{document}


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\textbf{Session 2001}
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\begin{center}
{\taille{16}\textbf{BACCALAUR\'EAT TECHNOLOGIQUE}}

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{\taille{16}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

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\textbf{Génie Mécanique}\par
\textbf{Option B : Systèmes Motorisés}\par
\textbf{Option C : Structures Métalliques}\par
\textbf{Option D : Bois et Matériaux Associés}\par
\textbf{Option E : Matériaux souples}\par

\bigskip
\textbf{Génie des matériaux}


\bigskip
{\taille{16}\textbf{MATH\'EMATIQUES}}

\end{center} 



\textbf{Durée : 4 heures}\hfill
\textbf{Coefficient : 4}



\begin{center}

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\textbf{\textit{L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.}}

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\rule{35mm}{0.4mm}

\end{center}


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\textbf{Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.}\\
\textbf{Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

\medskip
\textit{\textbf{Dès que le sujet vous est remis assurez vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.}}

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\textit{\textbf{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.}}

\medskip
\textit{\textbf{Ce sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré.}}

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\textbf{\underline{EXERCICE 1} (5 points)}

\qst Résoudre dans l'ensemble \C des nombres complexes l'équation en $z$ : $z^2-6z+13=0$.

\qstssq Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que pour tout complexe $z$ :\\
$z^3-9z^2+31z-39=(z-3)(z^2+bz+c)$.
\ssq En déduire les solutions dans \C de l'équation en $z$ : $z^3-9z^2+31z-39=0$.

\qst Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(0,\,\vec u,\,\vec v)$ (unité : 2 cm).\\
Soient $A$, $B$, $E$ et $F$ les points d'affixes respectives\par
\qquad\qquad $z_A=3+2i$,\quad $z_B=3-2i$,\quad $z_E=\dfrac{5}{4}+i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ et $z_F=3$.

\ssq Placer les points $A$, $B$, $E$ et $F$ dans le plan complexe (sur papier millimétré).
\ssq Calculer les distances $FA$, $FB$ et $FE$. En déduire que les points $A$, $B$ et $E$ appartiennent 
à un cercle ($\Gamma$) de centre $F$.
\ssq Quelle est la nature du triangle $ABE$ ?

\bigskip\numqst1
\textbf{\underline{EXERCICE 2} (4 points)}

\qst Résoudre l'équation différentielle (E) : $y" + y = 0$.

\qst On désigne par $f$ la solution particulière de (E) dont la courbe représentative dans un 
repère orthonormal passe par le point de coordonnées (0 ; 1) et admet en ce point une 
tangente parallèle à la droite d'équation $y = x$.
\ssq Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
\ssq En déduire une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
\ssq Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)=\sqrt{2}\,\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

\qst Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0 ; $\pi$], c'est-à-dire le réel $m$ défini par:\par
\qquad\qquad $m=\dfrac{1}{\pi}\,\int_0^{\pi}f(x)\,{\rm d}x$.

\newpage\numqst1
\textbf{\underline{PROBL\`EME} (11 points)}

\underline{\textbf{PARTIE I}}

Soit $g$ la fonction définie sur ]0 ; $+\infty$[ par $g(x)=-x+x\ln(x)$ (où $\ln$ désigne le logarithme népérien).

\qst Résoudre dans l'intervalle ]0 ; $+\infty$[ l'équation $g(x)=0$.

\qst Résoudre dans l'intervalle ]0; $+\infty$[ l'inéquation $g(x)>0$.


\bigskip\numqst1
\underline{\textbf{PARTIE II}}

Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; $+\infty$[ par $f(x)=-\dfrac{3}{4}\,x^2+\dfrac{1}{\strut 2}\,x^2\ln(x)$. On appelle ($\Gamma$) la courbe
représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$ (unités : 2 cm).

\qst Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim_{x\to 0}f(x)$.

\qst Montrer que $f'(x)=g(x)$. Utiliser les résultats de la partie \textbf{I} pour établir le tableau de variations de $f$.

\qst Calculer $f\left({\rm e}^{\frac{3}{2}}\right)$. On fera apparaître le détail des calculs.

\qst Soit $A$ le point d'abscisse 1 de ($\Gamma$). Déterminer une équation de la tangente (T) en $A$ à la courbe ($\Gamma$).

\qst Tracer dans le repère $(O,\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$ la tangente (T) ainsi que la partie de la courbe ($\Gamma$) relative à l'intervalle ]0 ; 6].

\qst Soit $F$ la fonction définie sur ]0 ; $+\infty$[ par $F(x)=\dfrac{1}{6}\,x^3\ln(x)-\dfrac{11}{36}\,x^3$.
\ssq Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur ]0 ; $+\infty$[.
\ssq Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine limité dans le repère $(O,\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$ par la courbe ($\Gamma$), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x={\rm e}$. On en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

\end{document}